Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem und seine Relevanz für das Scannen und die Wiedergabe von Bildern

Häh?! Nyquist-Dingsda… – was bedeutet das doch gleich? Schlägt man den Begriff bei Wikipedia nach, wird man gleich mit mathematischen Formeln (z.B. T = 1/2ƒmax), Begriffen wie Sinus-Kurven, diskreten und kontinuierlichen Signalen und Graphen von sich überlagernden Kurven erschlagen.

Scannen und das Nyquist-Shannon-Theorem – Mathematik und Gestaltung treffen aufeinander

Da stockt schon mal das zarte Photographen-Herz und denkt sich, verfolgt mich diese verflixte Mathematik nun auch in meine künstlerische Schaffenswelt. Fix wird Wikipedia wieder weggeklickt, damit man möglichst schnell vergisst, dass sich die Mathematik längst auch in diesen noch sicher geglaubten Bereich menschlichen Schaffens hineingefressen hat. Wann immer einem mal wieder der Begriff Nyquist-Shannon-Abtasttheorem über den Weg läuft, wird er geflissentlich überlesen, in der Hoffnung, der eigene Verdrängungsmechanismus wird schon nicht ins Wanken geraten.

Analoge Bilder – welcher Scanner eignet sich?

Irgendwann kommt man dann dazu, dass man seine analogen Bilder (Dias, Negative, Abzüge) digital in den Computer befördern möchte, sprich sie sollen gescannt werden. Da bereits hoher Aufwand betrieben wurde, um hochwertige Linsen, feinkörniges Bildmaterial und durch ein teures Stativ verwacklungsfreie Bilder zu produzieren möchte man natürlich nicht beim Scannen die ganze Qualität wieder verlieren – schließlich soll ja auch noch sämtlichen laienhaften Spöttern zum Trotz der Beweis angetreten werden, dass mit den alten Analogen Schätzchen eine Bildqualität jenseits derer von digitalen Spiegelreflexkameras erreicht werden kann.

Also wird sich auf die Suche gemacht, nach einem Scanner, der zum einen eine hohe Auflösung bietet (um die Farbtiefe und Dmax wollen wir uns in diesem Zusammenhang mal nicht kümmern), andererseits aber noch genug Erspartes unangetastet lässt, um weiter in Filme, Entwickler etc. investieren zu können.

So beschäftigt man sich intensiv mit verschiedenen Testergebnissen unterschiedlichster Scanner aller Hersteller dieser Welt und wird früher oder später feststellen, dass die Testergebnisse zeigen, dass viele Scanner nicht die versprochenen Auflösungen liefern, die in Marketing-Broschüren oder auf Internet-Seiten angepriesen werden. Doch stop – ist das wirklich so? Möchte man die Testergebnisse genauer hinterfragen ist es notwendig sich mit dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem näher auseinanderzusetzen.

Die Nyquist Auflösung oder: das Nyquist Shannon Sampling Theorem auf den Punkt gebracht

Im Prinzip ist es ganz simpel und kann in einem Satz auf den Punkt gebracht werden:

Die Abtastung muss immer in einer (mehr als) doppelt so hohen Auflösung geschehen, als welche Auflösung das ursprüngliche Bild hat.

Diese Auflösung wird als die Nyquist-Auflösung bezeichnet. Sie spielt überall dort eine Rolle, wo analoge Signale in digitale Werte umgesetzt werden sollen, also neben dem Scannen von Bildern zum Beispiel auch beim Digitalisieren von Musik oder dem Aufzeichnen einer Temperaturverlaufskurve zum Zwecke der Wetterbeobachtung.

Im Klartext: liegt ein Bild vor, dessen Auflösung bedingt durch Filmkorn und Auflösungsvermögen der Linsen eine maximale Informationsdichte von 5.000 dpi (5000 Punkte pro Inch) beinhaltet, benötige ich eine Scanauflösung von mehr als 10.000 dpi um alle Details zu erfassen. Die Nyquist-Auflösung beträgt also mehr als 10.000 dpi (> 10.000 dpi)

In der Praxis gehen wir aber eher andersherum vor. Wir scannen ein Bild in der höchstmöglichen optischen Auflösung ein, die ein Scanner bietet und wollen wissen, wieviel an tatsächlicher Qualität wir erreicht haben.

Das USAF-1951 Resolution Test Target

Hierzu sind aufwändige Test notwendig, bei denen häufig ein sogenanntes USAF-1951 Resolution Test Target verwendet wird. Auf diesem sind verschiedene Paare von weißen und schwarzen Linien horizontal und vertikal angeordnet. Diese Linienpaare unterscheiden sich in der Größe voneinander. Je kleiner die Paare sind umso eine höhere Auflösung ist notwendig um diese Paare noch als unterschiedliche Linien und nicht mehr als graue Fläche wahrnehmen zu können. Die Beurteilung dieser Scanergebnisse erfolgt durch Betrachten der Scans am Monitor.

Klingt zunächst recht plausibel, das Verfahren hat aber leider einige Schwachpunkte. So kann sich schon eine minimale Drehung des Dias um Bruchteile eines Grades negativ auf die Scanergebnisse auswirken: Sind die Linien nicht mehr parallel zu den Scanzeilen des Scanners, werden sie unscharf. Um diese Ungenauigkeiten auszugleichen ist eine hohe Anzahl von Scans notwendig; das beste Scanergebnis sollte dann zur Ermittlung der möglichen Scanauflösung herangezogen werden.

Grenzen des USAF-1951 Test Targets

Aber auch die Auswertung der Scanergenbisse spielt eine große Rolle, denn die Unterscheidung, ob es sich noch um zwei Linien oder bereits um eine graue Fläche handelt ist stark vom Betrachter und seiner persönlichen Tagesform abhängig (natürlich auch davon, wie voreingenommen er in die Tests hineingeht).

Um hier wissenschaftlich relevante Ergebnisse zu bekommen, wird eine Gruppe unvoreingenommener Betrachter notwendig sein, deren Ergebnisse gemittelt werden.

Es wird schnell klar, dass solch ein aufwändiges Verfahren kaum in der Praxis umgesetzt werden kann, da es einfach zu zeitintensiv ist.

Nichts desto trotz liefert das USAF-1951 Resolution Test Target gute Anhaltspunkte zur Ermittlung der tatsächlichen Auflösung eines Scanners.

Das USAF-1951 Resolution Test Target richtig verstehen dank Anwendung des Nyquist Shannon Sampling Theorems

Allerdings sollten die Ergebnisse auch noch unter Beachtung des Nyquist-Shannon-Abtastheorems betrachtet werden. Was wir schon gelernt haben: es ist eine mehr als doppelt so hohe Auflösung beim Digitalisieren notwendig, als welche Auflösung zum Schluss erreicht werden soll.

Wie erklärt es sich nun, dass es Testergebnisse gibt, die dem Scannern z. B. 80 % der nominellen Auflösung bescheinigen. Laut Nyquist und Shannon sind doch nur maximal 50 % möglich – ist das ganze Theater von Nyquist und Shannen doch nicht so relevant – war es nicht schon immer richtig, die beiden Querköpfe zu ignorieren?

Nun, leider (?) ist dem nicht so, denn das Nyquist-Shannon-Abtatstheorem sagt, dass wenn ich sichergehen will und alle Eventualitäten ausschließen will, die Nyquist-Auflösung (mehr als das Doppelte der gewünschten Auflösung) garantiert alle gewünschten Details wiedergibt. Es gibt aber auch Umstände, unter denen die gleiche Menge an Details trotz niedrigerer Scanauflösung erfasst werden können.

Warum das so ist, möchte ich hier anhand einiger Grafiken erklären.

Gehen wir der Einfachheit halber von einer gedruckten Vorlage aus, die digitalisiert werden soll. Die Vorlage besteht aus exakten quadratischen Pixeln, die in einer Auflösung von 150 dpi gedruckt wurden: Auf einen Inch in der Länge befinden sich 150 Pixel. Das selbe gilt natürlich für die Breite.

Die Scanvorlage

Ich zeige hier das Bild in seiner gesamten Größe:

Hier ein vergrößerter Ausschnitt des Bildes (32 Pixel in der Breite, 20 Pixel in der Höhe):

Was passiert nun, wenn dieser Ausschnitt gescannt wird: Ein Schlitten mit CCDs läuft über das Bild und nimmt in regelmäßigen Abständen, die durch den Schrittmotor vorgegeben werden, einen Streifen des Bildes auf. Je nach Anzahl der CCDs und kleinstmöglichem Schritt des Schrittmotors wird die Auflösung bestimmt. Hinzu kommt natürlich noch die Unschärfe durch falsch sitzenden Fokus – vor jedem CCD-Element befindet sich nämlich eine kleine Linse. Bei dieser theoretischen Betrachtung wollen wir jedoch solche (und weitere) mögliche Fehlerquellen ausklammern.

CCD-Elemente: Wie ein Flachbettscanner arbeitet

Also, betrachten wir einmal, was ein einzelnes CCD-Element zu einem bestimmten Zeitpunkt aufnimmt, wenn es auf eine einfarbige Fläche trifft:

 

Was passiert, wenn die abgetastete Fläche einen Farbverlauf aufweist: Das CCD Element kann nicht unterschiedliche Helligkeits- oder Farbwerte innerhalb seines Bildkreises auswerten, es ermittelt lediglich die durchschnittliche Helligkeit innerhalb seines Bildkreises:

Das CCD-Element als kleinstes Element der Abtastung

Dementsprechend kann das CCD-Element auch nicht unterscheiden, wenn sich innerhalb seines Bildkreises eine Kante befindet. Eine halb-halb Teilung in scharf abgegrenztes Schwarz und Weiß führt zu den selben Ausgabewerten, wie ein Verlauf:

Warum die Scanqualität scheinbar höher sein kann, als die Nyquist Auflösung

Werden nun in unserem Beispielbild genausoviele CCD-Elemente pro Inch zum Abtasten benutzt, wie die Vorlage an Pixeln pro Inch an Informationen enthält, reduziert sich die Auflösung entsprechend dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem auf unter die Hälfte der Scanauflösung. Im Detail sieht das so aus:

 

Nehmen wir uns hier wieder ein einzelnes CCD-Element heraus und betrachten dieses genauer:

Gleiche Vorlage, gleicher Scanner, andere Situatoin: Der Bildkreis der einzelnen CCDs fällt in diesem extrem unwahrscheinlichen Beispiel direkt auf die Pixel der Bildvorlage. Unsere eingescannte Datei enthält nun exakt genau die gleichen Informationen wie die Vorlage. Leider können wir nicht überprüfen, ob unsere CCDs genau mit den gewünschten Details der Vorlage übereinstimmen, denn dann könnten wir mit der doppelten Auflösung scannen, als wie das Nyquist-Shannon-Abtatstheorem angibt. Das würde bedeuten mehr Scanqualität für deutlich weniger Geld.

Da wir jedoch nicht unsere Vorlagen genau an das Raster der CCD-Abtastung ausrichten können und unsere Vorlagen in der Regel auch nicht solch ein strukturiertes Raster aufweisen sondern eine chaotische Verteilung von Silberkörnern bzw. Farbstoffen im Film, brauchen wir immer die mehr als doppelte Auflösung beim Einscannen von analogen Bildvorlagen.

Das USAF-1951 Test Dia: Warum die Auflösung höher als die Nyquist-Auflösung erscheint

Gehen wir noch einmal zurück zu unserem USAF-1951 Test Target mit den schwarz-weißen Linienpaaren.

Wenn solch ein Linienpaar nun zufälliger weise genau (oder fast genau) mit dem Raster der CCDs übereinstimmt, kann es durchaus passieren, dass die subjektiv empfundene Auflösung deutlich über der Nyquist-Auflösung liegt:

 

Bei diesem Beispiel werden zwei Linienpaare gescannt. Deren Tonwerte liegen bei 0 % und 100 % Schwarz. Sie sind leicht versetzt zur Anordnung der CCD-Elemente angeordnet, so dass eine Linie zu 90 % auf Element A und zu 10 % auf Element B liegt. Die beiden nebeneinander liegenden CCDs speichern jeweils einen Wert von 10 % und 90 % Schwarz. Es entstehen zwei Linien mit 10 % und 90 % Schwarz. Der subjektive Betrachter wird nun sagen: „Ich erkenne hier noch Linien mit einer Auflösung von 150 Linienpaaren, was einer Auflösung von 300 dpi entspricht.“.

 

Liegen die Linien nun genau zu 50 % versetzt zu den CCDs sieht die Sache ganz anders aus:

 

Die beiden nebeneinander liegenden CCDs erfassen jeweils 50 % der schwarzen Linie und interpretieren dies als 50 % Grau. Die Linienpaare sind für den subjektiven Betrachter nicht mehr zu unterscheiden, er würde dem Scanner eine geringere Auflösung attestieren als im vorherigen Beispiel, obwohl es sich um den identischen Scanner und die selbe Vorlage handelt.

Scannertests anhand des USAF-1952 Test Target – glaube keinem Test, dessen Ergebnisse Du nicht selbst manipuliert hast 😉

Wir sehen hier, wie ungenau die Messung der tatsächlichen Scannerauflösung anhand von USAF-Dias ist. Allerdings gibt es kein besseres Verfahren – zumindest ist mir keines bekannt. Zieht man diese Ungenauigkeit in Betracht, kann man die USAF-Dia-Tests als Anhaltspunkt zur Beurteilung der Scannerqualität unter anderen heranziehen. Aber man sollte sich die Testergebnisse genau anschauen und entsprechend den Feststellungen des Nyquist-Shann0n-Dingsbums-Theorems hinterfragen.

Vor allem kann man sagen, dass solange die gemessene Auflösung nicht unterhalb 50 % der vom Hersteller angegebenen optischen Auflösung fällt, wir davon ausgehen können, dass die angegebene optische Auflösung auch tatsächlich stimmt. Fällt die gemessene Auflösung unter die magische Grenze von 50 % kann es natürlich auch sein, dass zwar die Anzahl der CCD-Elemente auf der Scannerleiste stimmt und auch der Schrittmotor entsprechend feinauflösend arbeitet, dass jedoch andere Probleme die Qualität verschlechtern – z.B. minderwertige oder schlecht fokussierte Linsensysteme innerhalb des Scanners.

 

Ich hoffe, ich konnte etwas Licht ins Dunkel bringen. Über Anmerkungen, Korrekturen, Fragen und Jubeleien würde ich mich sehr freuen. Gegebenenfalls wird der Text dann auch noch überarbeitet.